每日一题[2991]独立工作

如图，半圆 $O$ 的直径 $AB=2$，$C$ 为圆弧上（不包含端点）的动点，点 $M,N$ 分别在以线段 $AC,BC$ 为直径的半圆弧上运动，则 $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{25}{12}$．

解析    设 $\angle AOC=2\alpha$，$\alpha\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，$AC$ 的中点为 $P$，则

$$\begin{split}\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OC}&=\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}\right)\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=|OP|^2+|PM|\cdot |OC|\cdot \cos\theta\\ &=\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\theta,\end{split}$$ 其中 $\theta$ 为 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角，其取值范围是 $\left[0,\dfrac{\pi}2+\alpha\right]$，因此 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的取值范围是 $$\left[\cos^2\alpha-\sin^2\alpha,\cos^2\alpha+\sin\alpha\right].$$ 同理，$\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OC}$ 的取值范围是 $$\left[\sin^2\alpha-\sin\alpha\cos\alpha,\sin^2\alpha+\cos\alpha\right],$$ 因此 $$\begin{split} \overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{OC}&=\left(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\right)\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=\overrightarrow{ON}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{OC}\\ &\leqslant \left(\sin^2\alpha+\cos\alpha\right)-\left(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\right)\\ &=2+x-3x^2\leqslant \dfrac{25}{12},\end{split}$$ 其中 $x=\cos\alpha$，最后的等号当 $x=\dfrac 16$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{25}{12}$．