已知函数 $f(x)=x^a \ln x-x$．
1、当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性．
2、当 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \leqslant-1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
3、设 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$，证明 $: \ln (n+1)<1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\dfrac{n}{2(n+1)}$．
解析
1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)=x\ln x-x$，其导函数\[f'(x)=\ln x,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．
2、根据题意，有 $f(x)\leqslant -1$ 等价于\[\ln x-x^{1-a}+x^{-a}\leqslant 0,\]设不等式左侧为函数 $g(x)$，则 $g(1)=0$，端点分析，其导函数\[g'(x)=x^{-1}-(1-a)x^{-a}-ax^{-a-1}=x^{-a-1}\left(x^a-(1-a)x-a\right),\]设 $h(x)=x^a-(1-a)x-a$，则 $h(1)=0$，其导函数\[h'(x)=ax^{a-1}-(1-a),\]有 $h'(1)=2a-1$，讨论分界点为 $a=\dfrac 12$．
情形一 $a\leqslant \dfrac 12$．此时\[g(x)=\ln x-x^{-a}(x-1)\leqslant \ln x-\left(\sqrt x-\dfrac{1}{\sqrt x}\right)\leqslant 0,\]符合题意．
情形二 $a>\dfrac 12$．此时设区间\[D=\begin{cases} (1,+\infty),&a\geqslant 1,\\ \left(1,\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^{\frac{1}{1-a}}\right),&\dfrac 12<a<1.\end{cases}\]则在区间 $D$ 上，$h'(x)>0$，从而 $h(x)$ 单调递增，$h(x)>0$，进而 $g(x)$ 单调递增，$g(x)>0$，不符合题意．
综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 12\right]$．