每日一题[2979]暗含条件

已知 $O$ 为坐标原点，点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C: \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2-1}=1$（$a>1$）上，直线 $l$ 交 $C$ 于 $P, Q$ 两点．

1、若直线 $l$ 过 $C$ 的右焦点，且斜率为 $ -1$，求 $\triangle P A Q$ 的面积．

2、若直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点，且 $\overrightarrow{O M}+\overrightarrow{O N}=\overrightarrow{0}$，证明：直线 $l$ 过定点．

解析

1、由点 $A(2,1)$ 在双曲线 $C$ 上可得\[\dfrac{4}{a^2}-\dfrac{1}{a^2-1}=1\implies a^2=2,\]于是 $C:\dfrac{x^2}2-y^2=1$，于是双曲线的右焦点为 $\left(\sqrt 3,0\right)$，根据双曲线的焦点弦长公式，有\[|PQ|=\dfrac{2\sqrt 2}{\left|-1+\sin^2135^\circ\right|}=4\sqrt 2,\]而点 $A(2,1)$ 到直线 $PQ:x+y-\sqrt 3=0$ 的距离为\[d(A,PQ)=\dfrac{3-\sqrt 3}{\sqrt 2},\]于是所求 $\triangle PAQ$ 的面积\[[\triangle PAQ]=\dfrac 12\cdot |PQ|\cdot d(A,PQ)=\dfrac 12\cdot 4\sqrt 2\cdot \dfrac{3-\sqrt 3}{\sqrt 2}=6-2\sqrt 3.\]

2、设 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，由 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\overrightarrow 0$，可得\[\dfrac{x_1-2y_1}{x_1-2}+\dfrac{x_2-2y_2}{x_2-2}=0\implies \dfrac{y_1-1}{x_1-2}+\dfrac{y_2-1}{x_2-2}=1,\]平移坐标系，使得 $A$ 为坐标原点，则新坐标系下双曲线 $C'$ 为\[\dfrac {(x+2)^2}2-(y+1)^2=1\iff \dfrac {x^2}2+2x-2y-y^2=0,\]与直线 $P'Q':mx+ny=1$ 化齐次联立可得\[\dfrac{x^2}2+(2x-2y)(mx+ny)-y^2=0,\]根据韦达定理，有两根之和\[-\dfrac{-2m+2n}{-2n-1}=1\iff m=-\dfrac 12,\]于是直线 $P'Q'$ 恒过点 $(-2,0)$，回到原坐标系，直线 $l$ 过定点 $(0,1)$．