每日一题[2964]嵌套三角形

直角三角形 $D E F$ 的三个顶点分别在等边三角形 $A B C$ 的边 $A B,B C,C A$ 上，且 $\angle D E F=90^{\circ}$，$\angle E D F=30^{\circ}$，求 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 面积之比的最小值．

答案    $\dfrac{3}{14}$．

解析    设 $EF=1$，$DF=2$，$DE=\sqrt 3$，$\angle BDE=x$，则根据正弦定理，有

$$BD=\dfrac{\sin \angle BDE}{\sin B}\cdot DE=2\sin x,$$ 且 $$AD=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi}2-x\right)}{\sin A}\cdot DF=\dfrac{4}{\sqrt 3}\cos x,$$ 因此 $\triangle DEF$ 与 $\triangle ABC$ 的面积之比为 $$\dfrac{\dfrac 12\cdot DE\cdot EF}{\dfrac{\sqrt 3}4\cdot AB^2}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2}{\dfrac{\sqrt 3}4\left(2\sin x+\dfrac{4}{\sqrt 3}\cos x\right)^2}=\dfrac{1}{2\left(\sin x+\dfrac{2}{\sqrt 3}\cos x\right)^2}\geqslant \dfrac{1}{2\left(1+\dfrac 43\right)}=\dfrac{3}{14},$$ 等号当 $\tan x=\dfrac{\sqrt 3}2$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{3}{14}$．