已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a}{2} x^2+x+2$（$a \in \mathbb{R}$）．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．
2、若函数 $g(x)=f(x)+b x-2$（$a \neq 0$）的两个零点为 $x_1, x_2$（$x_1 \neq x_2$），证明：$g^{\prime}\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<0$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数为\[f'(x)=\dfrac 1x-ax+1=\dfrac{-ax^2+x+1}{x},\]当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4 a}}{2a}\right)$ 上单调递增，在 $ \left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}\right)$ 上单调递增，在 $ \left(\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a},+\infty\right)$ 上单调递减．
2、根据题意，有\[g(x)=\ln x-\dfrac a2x^2+(b+1)x,\]其导函数\[g'(x)=\dfrac 1x-ax+(b+1),\]于是\[\ln x_1-\dfrac a2x_1^2+(b+1)x_1=\ln x_2-\dfrac a2x_2^2+(b+1)x_2,\]进而\[\ln x_1-\ln x_2=(x_1-x_2)\left(\dfrac a2(x_1+x_2)-(b+1)\right),\]也即\[\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{x_1+x_2}-g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)},\]根据对数平均不等式，有\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2,\]于是\[\dfrac{1}{\dfrac{2}{x_1+x_2}-g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)}<\dfrac{x_1+x_2}2,\]从而\[1<1-\dfrac{x_1+x_2}2\cdot g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),\]命题得证．