每日一题[2951]对数平均

已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{a}{2} x^2+x+2$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若函数 $g(x)=f(x)+b x-2$（$a \neq 0$）的两个零点为 $x_1, x_2$（$x_1 \neq x_2$），证明：$g^{\prime}\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)<0$．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为

$$f'(x)=\dfrac 1x-ax+1=\dfrac{-ax^2+x+1}{x},$$ 当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4 a}}{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(0,\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2a},+\infty\right)$ 上单调递减．

2、根据题意，有

$$g(x)=\ln x-\dfrac a2x^2+(b+1)x,$$ 其导函数 $$g'(x)=\dfrac 1x-ax+(b+1),$$ 于是 $$\ln x_1-\dfrac a2x_1^2+(b+1)x_1=\ln x_2-\dfrac a2x_2^2+(b+1)x_2,$$ 进而 $$\ln x_1-\ln x_2=(x_1-x_2)\left(\dfrac a2(x_1+x_2)-(b+1)\right),$$ 也即 $$\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac{1}{\dfrac{2}{x_1+x_2}-g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)},$$ 根据对数平均不等式，有 $$\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 于是 $$\dfrac{1}{\dfrac{2}{x_1+x_2}-g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right)}<\dfrac{x_1+x_2}2,$$ 从而 $$1<1-\dfrac{x_1+x_2}2\cdot g'\left(\dfrac{x_1+x_2}2\right),$$ 命题得证．