每日一题[2939]极值估计

已知函数 $f(x)=a \ln x+\dfrac{a-1}{x}-x$，其中 $a<2$．

1、讨论 $f(x)$ 的极值．

2、设 $m \in \mathbb{Z}$，当 $a=1$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f(x)<m-(x-2) {\rm e}^x$ 在区间 $(0,1]$ 上恒成立，求 $m$ 的最小值．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac{-(x-1)(x-(a-1))}{x^2},$$ 讨论分界点为 $a=1$． 当 $a\leqslant 1$ 时，函数 $f(x)$ 的极大值为 $f(1)=a-2$，无极小值； 当 $1<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 的极大值为 $f(1)=a-2$，极小值为 $f(a-1)=a\ln(a-1)-a+2$．

2、题意即

$$\forall x\in(0,1],~m>\ln x-x+(x-2){\rm e}^x,$$ 设不等式右侧为函数 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac 1x-1+(x-1){\rm e}^x=(1-x)\left(\dfrac 1x-{\rm e}^x\right),$$ 于是函数 $g(x)$ 在 $(0,t)$ 上单调递增，在 $(t,1]$ 上单调递减，在 $x=t$ 处取得极大值，也为最大值 $$T=g(t)=\ln t-t+(t-2){\rm e}^t,$$ 其中 $\dfrac 1t-{\rm e}^t=0$，也即 $\ln t=-t$．因此 $$T=1-2\left(t+\dfrac 1t\right).$$ 容易判断出 $t\in\left(\dfrac 12,1\right)$，于是 $T\in(-4,-3)$，因此 $m$ 的最小值为 $-3$．