每日一题[2938]分离变量

已知函数 $f(x)=(x-2) {\rm e}^x-\dfrac{a}{2} x^2+a x$（$a \in \mathbb R$）．

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调性．

2、若不等式 $f(x)+(x+1) {\rm e}^x+\dfrac{a}{2} x^2-2 a x+a>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=(x-1)\left({\rm e}^x-a\right),$$ 于是讨论分界点为 $a=0,{\rm e}$．

当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；

当 $0<a<{\rm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,\ln a)$ 上单调递增，在 $(\ln a,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；

当 $a={\rm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增；

当 $a>{\rm e}$ 时，$f(x)$ 在 $(1,\ln a)$ 上单调递减，在 $(-\infty,1)$ 和 $(\ln a,+\infty)$ 上单调递增．

2、根据题意，有 $$\forall x\in\mathbb R,~(2x-1){\rm e}^x>a(x-1),$$ 也即 $$\begin{cases} \forall x>1,~a<\dfrac{(2x-1){\rm e}^x}{x-1},\\ \forall x<1,~a>\dfrac{(2x-1){\rm e}^x}{x-1},\end{cases}$$ 设 $g(x)=\dfrac{(2x-1){\rm e}^x}{x-1}$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x(2x-3){\rm e}^x}{(x-1)^2},$$ 则 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0&\left(0,1\right)&1^-&1^+&\left(1,\dfrac 32\right)&\dfrac32&\left(\dfrac 32,+\infty\right)&+\infty\\ \hline g(x)&0&\nearrow&1&\searrow&-\infty&+\infty&\searrow&4{\rm e}^{\frac 32}&\nearrow&+\infty\\ \hline \end{array}$$ 因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(1,{\rm e}^{\frac 32}\right)$．