每日一题[2925]冻结变量

已知函数 $f(x)=a \ln x+(x+1)^2$（$a \neq 0$，$x>0$）．

1、求函数 $f(x)$ 的单调区间．

2、对于任意 $x \in[1,+\infty)$ 均有 $f(x)-\dfrac{x^2}{a} \leqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=\dfrac ax+2(x+1)=\dfrac{2x^2+2x+a}x,$$ 当 $a\geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$，没有单调递减区间； 当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(\dfrac{-1+\sqrt{1-2a}}{2},+\infty\right)$，单调递减区间是 $\left(0,\dfrac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}\right)$．

2、根据题意，$f(1)-\dfrac 1{a}\leqslant 0$，于是 $0<a\leqslant \dfrac 14$，接下来证明当 $0<a\leqslant \dfrac 14$ 时符合题意，即证明

$$\forall \left(a\in\left(0,\dfrac14\right]\right)\land (x\geqslant 1),~\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{(x+1)^2}{a}-\ln x\geqslant 0,$$ 即 $$\forall (m\geqslant 4)\land (x\geqslant 1),m^2x^2-m(x+1)^2-\ln x\geqslant 0,$$ 将不等式左边看成关于 $m$ 的二次函数 $g(m)$，则其对称轴为 $m=\dfrac{(x+1)^2}{2x^2}$ 即 $m=\dfrac 12\left(1+\dfrac 1x\right)^2$，当 $x\geqslant 1$ 时，有 $$\dfrac 12\left(1+\dfrac 1x\right)^2\leqslant 2,$$ 因此命题可以转化为 $g(4)>0$，也即 $$\forall x\geqslant 1,~12x^2-8x-\ln x-4\geqslant 0,$$ 只需要证明 $$\forall x\geqslant 1,~12x^2-9x-3\geqslant 0,$$ 即 $$\forall x\geqslant 1,~3(x-1)(4x+1)\geqslant 0,$$ 命题得证．综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac14\right]$．