每日一题[2907]只是估计

$11$ 月，$2019$ 全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地一一安徽凤阳举办，其间甲、乙两人 轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一 位置，甲先投，每人投一次球，两人有 $1$ 人命中，命中者得 $1$ 分，末命中者得 $-1$ 分；两人都命中或都末命中，两人均得 $0$ 分．设甲每次投球命中的概率为 $\dfrac{1}{2}$，乙每次投球命中的概率为 $\dfrac{2}{3}$ 且各次投球互不影响．

1、经过 $1$ 轮投球，记甲的得分为 $X$，求 $X$ 的分布列．

2、若经过 $n$ 轮投球，用 $p_i$ 表示经过第 $i$ 次投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率．

① 求 $p_1, p_2, p_3$．

② 规定 $p_0=0$，经过计算机计算可估计得 $p_i=a p_{i+1}+b p_i+c p_{i-1}$（$b \neq 1$），请根据 ① 中 $p_1 , p_2 , p_3$ 的值分别写出 $a , c$ 关于 $b$ 的表达式，并由此求出数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式．

解析

1、根据题意，有 $X$ 的可能取值为 $-1 , 0 , 1$，有

$$\begin{split} P(X=-1)&=\left(1-\frac{1}{2}\right) \times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}, \\ P(X=0)&=\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}+\left(1-\frac{1}{2}\right) \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}, \\ P(X=1)&=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{6} ,\end{split}$$ 因此 $X$ 的分布列为 $$\begin{array}{c|ccc}\hline X&-1&0&1\\ \hline P&\dfrac 13&\dfrac 12&\dfrac 16\\ \hline \end{array}$$

2、① 由第 $(1)$ 小题的结果可知 $p_1=\dfrac{1}{6}$，经过两轮投球甲的累计得分高的概率为

$$p_2=\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}+\mathop{\rm C}\nolimits_2^1\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{6}\right)=\frac{7}{36} ,$$ 经过三轮投球，甲的累计得分的概率为 $$p_3=\left(\frac{1}{6}\right)^3+\mathop{\rm C}\nolimits_3^2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)+\mathop{\rm C}\nolimits_3^1\left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{2}\right)^2+\mathop{\rm C}\nolimits_3^2\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{43}{216} .$$

② 根据 ① 的结果，有 $p_0=0$，$p_1=\dfrac 16$，$p_2=\dfrac 7{36}$，$p_3=\dfrac{43}{216}$．当 $p_i=a p_{i+1}+b p_i+c p_{i-1}$ 时，根据特征根法

$$p_n=A\cdot \alpha^n+B\cdot \beta^n,$$ 分别代入 $n=0,1,2,3$ 可得 $$\begin{cases} A+B=0,\\ A\alpha+B\beta=\dfrac 16,\\ A\alpha^2+B\beta^2=\dfrac7{36},\\ A\alpha^3+B\beta^3=\dfrac{43}{216},\end{cases}$$ 解得 $p_n=\dfrac 15-\dfrac 15\cdot \dfrac{1}{6^n}$，进而 $$p_{n+1}=\dfrac 76p_n-\dfrac 16p_{n-1}\iff p_n=\dfrac 67p_{n+1}+\dfrac 17p_{n-1},$$ 从而 $a=\dfrac 67(1-b)$，$c=\dfrac 17(1-b)$．

备注   这个计算机模拟的估计是错误的．