每日一题[2906]横竖皆可

武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 $1$ 分，若继续游玩东湖记 $2$ 分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为 $\dfrac{1}{2}$，游客之间选择意愿相互独立．

1、从游客中随机抽取 $3$ 人，记总得分为随机变量 $X$，求 $X$ 的分布列与数学期望．

2、回答下列问题：

① 若从游客中随机抽取 $m$ 人，记总分恰为 $m$ 分的概率为 $A_m$，求数列 $\left\{A_m\right\}$ 的前 $10$ 项和．

② 在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为 $n$ 分的概率为 $B_n$，探讨 $B_n$ 与 $B_{n-1}$ 之间的关系，并求数列 $\left\{B_n\right\}$ 的通项公式．

解析

1、根据二项分布，有 $X$ 的分布列为

$$\begin{array}{c|cccc}\hline X&3&4&5&6\\ \hline P&\dfrac 18&\dfrac 38&\dfrac 38&\dfrac 18\\ \hline \end{array}$$ 进而可得所求数学期望为 $4.5$．

2、① 根据题意，有 $A_m=\dfrac{1}{2^m}$，于是数列 $\left\{A_m\right\}$ 的前 $10$ 项和为

$$\dfrac{\dfrac 12\left(1-\dfrac1{2^{10}}\right)}{1-\dfrac 12}=\dfrac{1023}{1024}.$$

② 根据题意，$B_1=\dfrac 12$，$B_2=\dfrac 34$，有

$$1-B_n=\dfrac 12B_{n-1},$$ 于是 $$B_n-\dfrac 23=-\dfrac 12\left(B_{n-1}-\dfrac23\right)\implies B_n=\dfrac 23+\dfrac13\left(-\dfrac 12\right)^n.$$