每日一题[2903]草图绘制

已知函数 $f(x)=\ln (1+x)+a x \mathrm{e}^{-x}$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程．

2、若 $f(x)$ 在区间 $(-1,0)$，$(0,+\infty)$ 各恰有一个零点，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的切线，根据导数的几何意义求解即可．
当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{x-1}{{\rm e}^x},\]因此 $f(0)=0$，$f'(0)=2$，进而所求切线方程为 $y=2x$．

2、注意到 $f(0)=0$，且 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$；$x\to -1$ 时，$f(x)\to -\infty$，因此猜测函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 两侧各有一个极值点（左侧为极大值点，右侧为极小值点）．函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{1+a\left(1-x^2\right){\rm e}^{-x}}{x+1},\]设分子部分为 $h(x)$，其导函数\[h'(x)={\rm e}^{-x}\cdot a(x^2-2x-1).\]若 $a\geqslant 0$，当 $x\in (-1,0)$ 时，有\[f(x)\leqslant \ln(1+x)<0,\]不符合题意，因此 $a<0$，进而有\[\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&-1&\left(-1,1-\sqrt 2\right)&1-\sqrt 2&\left(1-\sqrt 2,1+\sqrt 2\right)&1+\sqrt 2&\left(1+\sqrt 2,+\infty\right)&+\infty\\ \hline h(x)&1&\searrow&\text{极小值}&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&1+\\ \hline\end{array}\]

[[case]]情形一[[/case]] $h'(0)<0$，即 $a<-1$．此时由于 $h(-1)=h(1)=1$，$h(x)$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,+\infty)$ 分别有唯一零点，记为 $t_1,t_2$（$t_1<0<t_2$），则函数 $f(x)$ 在 $(-1,t_1)$ 上单调递增，在 $(t_1,0)$ 上单调递减，在 $(0,t_2)$ 上单调递减，在 $(t_2,+\infty)$ 上单调递增，结合 $f(0)=0$，$f(x)$ 在区间 $(-1,0)$，$(0,+\infty)$ 各恰有一个零点，符合题意．

[[case]]情形二[[/case]] $h'(0)\geqslant 0$，即 $-1\leqslant a<0$．此时在区间 $x\in(0,+\infty)$ 上，有 $h(x)>0$，于是 $f(x)$ 在该区间上单调递增，因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点，不符合题意．

综上所述，$a$ 的取值范围是 $(-\infty,-1)$．