每日一题[2901]极值估计

已知函数 $f(x)=a {\rm e}^{2 x}-a{\rm e}^x-x{\rm e}^x$（$a \geqslant 0$，${\rm e}=2.718 \cdots$，${\rm e}$ 为自然对数的底数），

1、若 $f(x) \geqslant 0$ 对于 $x \in \mathbb{R}$ 恒成立． 求实数 $a$ 的值．

2、证明：$f(x)$ 存在唯一极大值点 $x_0$，且 $\dfrac{\ln 2}{2 \mathrm{e}}+\dfrac{1}{4 \mathrm{e}^2} \leqslant f\left(x_0\right)<\dfrac{1}{4}$．

解析

1、不等式 $f(x)\geqslant 0$ 即 $a{\rm e}^x-(a+x)>0$，设左侧为函数 $g(x)$，则注意到 $g(0)=0$，分析端点，函数 $g(x)$ 的导函数

$$g'(x)=a{\rm e}^x-1,$$ 从而 $g'(0)=a-1$，讨论分界点为 $a=1$．

情形一     $0<a<1$．此时在区间 $x\in\left(0,\ln\dfrac 1a\right)$ 上，有 $g'(x)<0$，$g(x)$ 单调递减，进而 $g(x)<g(0)=0$，不符合题意．

情形二     $a>1$．此时在区间 $x\in\left(\ln\dfrac 1a,0\right)$ 上，有 $g(x)$ 单调递增，$g(x)$ 单调递增，进而 $g(x)<g(0)=0$，不符合题意．

情形三    $a=1$．此时有

$$g(x)={\rm e}^x-(1+x)\geqslant 0,$$ 符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的值为 $1$．

2、当 $a=1$ 时，有 $f(x)={\rm e}^{2x}-{\rm e}^x-x{\rm e}^x$，则 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x\left(2{\rm e}^x-x-2\right),$$ 设 $h(x)=2{\rm e}^x-x-2$，则其导函数 $$h'(x)=2{\rm e}^x-1,$$ 从而 $g(x)$ 在 $\left(-\infty,-\ln 2\right)$ 上单调递减，在 $(-\ln 2,+\infty)$ 上单调递增，进而 $f(x)$ 的极大值点 $x_0$ 满足 $$2{\rm e}^{x_0}-x_0-2=0,$$ 且 $x_0<-\ln 2$．此时 $$f(x_0)={\rm e}^{x_0}\left({\rm e}^{x_0}-1-x_0\right)=-\dfrac14x_0(x_0+2),$$ 注意到 $$h(-1)=\dfrac{2}{\rm e}-1<0,$$ 于是 $x_0<-1$，从而 $f(x_0)<\dfrac14$． 由于 $g(0)=0$，因此 $f(x)$ 在 $(-\infty,x_0)$ 上单调递增，在 $(x_0,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty)$ 上单调递增．从而 $$f(x_0)\geqslant f(m),\quad m<0,$$ 取 $m=-\ln(2{\rm e})$，则 $$f(m)=\dfrac{1}{4{\rm e}^2}+\dfrac{\ln 2}{2{\rm e}},$$ 从而 $f(x_0)\geqslant \dfrac{\ln 2}{2{\rm e}}+\dfrac 1{4{\rm e}^2}$． 综上所述，原不等式得证．