每日一题[2882]积少不成多

已知二次函数 $f(x)$ 满足 $f(x-2)=f(-x)$，$f(-1)=1$，$f(0)=2$，$g(x)=\mathrm{e}^x$．

1、求 $f(x)$ 的解析式．

2、求证：当 $x\geqslant 0$ 时，$2g(x)\geqslant f(x)$．

3、求证：$\dfrac{1}{2 g(1)+1}+\dfrac{1}{2 g(2)+2}+\cdots+\dfrac{1}{2 g(n)+n}<\dfrac{1}{2}$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$）．

解析

1、根据 $f(x-2)=f(-x)$，函数 $f(x)$ 关于 $x=-1$ 对称，又 $f(-1)=1$，于是二次函数的顶点为 $(-1,1)$，设解析式为 $f(x)=a(x+1)^2+1$，则由 $f(0)=2$ 可得 $a=1$，从而 $f(x)=(x+1)^2+1$，也即 $f(x)=x^2+2x+2$．

2、题意即证明 $$\forall x\geqslant 0,~2{\rm e}^x\geqslant x^2+2x+2,$$ 也即 $$\forall x\geqslant 0,~(x^2+2x+2){\rm e}^{-x}\leqslant 2,$$ 设 $h(x)=(x^2+2x+2){\rm e}^{-x}$，则其导函数 $$h'(x)=-x^2{\rm e}^{-x},$$ 因此函数 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，从而当 $x\geqslant 0$ 时，有 $h(x)\leqslant h(0)=2$，命题得证．

3、根据题意，有 $$\begin{split} LHS&=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{2g(k)+k}\\ &< \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{f(k)+k}\\ &= \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2+3k+2}\\ &=\sum_{k=1}^n\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right)\\ &=\dfrac 12-\dfrac{1}{n+2}\\ &<\dfrac 12,\end{split}$$ 命题得证．

备注    也可以利用积分放缩，有 $$LHS<\int_0^n\dfrac{1}{2{\rm e}^x}{ {\rm d}} x=-\dfrac 12{\rm e}^{-x}\Bigg|_0^n=\dfrac 12-\dfrac 12{\rm e}^{-n}<\dfrac 12.$$