每日一题[2878]极值点偏移

已知函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=a x-1$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、讨论函数 $h(x)=f(x)-g(x)$ 的单调性．

2、若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象有两个不同的交点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$（$x_1<x_2$）．

① 求实数 $a$ 的取值范围．

② 求证：$-1<y_1<0$，且 $\mathrm{e}^{y_1}+\mathrm{e}^{y_2}>2$（$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）．

解析

1、根据题意，有 $h(x)=\ln x-ax+1$，其导函数 $$h'(x)=\dfrac 1x-a,$$ 于是当 $a\leqslant 0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；当 $a>0$ 时，函数 $h(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递减．

2、① 根据题意，函数 $h(x)$ 有两个零点，由第 $(1)$ 小题的结果，$a>0$，且 $h(x)$ 的极大值亦为最大值是 $h\left(\dfrac 1a\right)=-\ln a$，而当 $x\to 0$ 以及当 $x\to +\infty$ 时，$h(x)\to -\infty$，因此实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$．

② 由 ① 的结果，有 $0<x_1<\dfrac 1a<x_2$，且 $$\ln x_1-ax_1+1=\ln x_2-ax_2+1=0,$$ 于是 $$y_1=ax_1-1\in (-1,0),$$ 而 $${\rm e}^{y_1}+{\rm e}^{y_2}={\rm e}^{\ln x_1}+{\rm e}^{\ln x_2}=x_1+x_2>2\cdot \dfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=\dfrac 2a>2,$$ 命题得证．