每日一题[2864]不动点改造

数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，$a_{n+1}=2+\sqrt{4 a_n-a_n^2}$，则 $a_1+a_{2018}$ 的最大值为（       ）

A．$2$

B．$4$

C．$4-2 \sqrt{2}$

D．$4+2 \sqrt{2}$

答案    D．

解析    根据题意，不动点方程为

$$x=2+\sqrt{4x-x^2}\iff x^2-4x+2=0,$$ 设 $b_n=a_n^2-4a_n+2$，则 $$\begin{split} b_{n+1}&=a_{n+1}^2-2a_{n+1}+2\\ &=\left(2+\sqrt{4a_n-a_n^2}\right)^2-2\left(2+\sqrt{4a_n-a_n^2}\right)+2\\ &=-a_n^2+4a_n-2\\ &=-b_n,\end{split}$$ 从而 $b_n=b_1\cdot (-1)^{n-1}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），从而 $$\left(a_1^2-4a_1+2\right)+\left(a_{2018}^2-4a_{2018}+2\right)=0,$$ 于是 $$4(a_1+a_{2018})-4=a_1^2+a_{2018}^2\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{a_1+a_{2018}},$$ 解得 $a_1+a_{2018}\leqslant 4+2\sqrt 2$，等号当 $a_1=a_{2018}=2+\sqrt 2$ 时取得，因此所求最大值为 $4+2\sqrt 2$．