每日一题[2858]梅花三弄

在平面四边形 $ABCD$ 中，$AD=1$，$BD=\sqrt 5$，$AB\perp AC$，$AC=2AB$，则 $CD$ 的最小值为（       ）

A．$5$

B．$3\sqrt 3$

C．$\sqrt 5$

D．$3\sqrt 5$

答案    C．

解析

解法一

设 $A(0,0)$，$B(m,0)$，$C(0,2m)$，$D(x,y)$，则 $$\begin{cases} AD=1,\\ BD=\sqrt 5,\end{cases}\implies \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ (x-m)^2+y^2=5,\end{cases}\iff \begin{cases} x=\dfrac{m^2-4}{2m},\\ m^2y^2=m^2-\dfrac{(m^2-4)^2}4,\end{cases}$$ 而 $$CD^2=x^2+(y-2m)^2=1-4my+4m^2\geqslant 1-2\sqrt{20-(6-m^2)^2}+4m^2,$$ 设 $6-m^2=x$，则 $$RHS=25-2\left(\sqrt{20-x^2}+2x\right)\geqslant 25-2\cdot \sqrt{1^2+2^2}\cdot \sqrt{(20-x^2)+x^2}=5,$$ 因此当 $x=4$ 时也即 $m=\sqrt 2$ 时，$CD$ 取得最小值为 $\sqrt 5$．    

解法二

设 $AB=m$，$AC=2m$，$BC=\sqrt 5 m$，根据广义托勒密定理，有 $$AC\cdot BD\leqslant AB\cdot CD+AD\cdot BC,$$ 即 $$2m\cdot \sqrt 5 \leqslant m\cdot CD+1\cdot \sqrt 5m,$$ 从而 $CD\geqslant \sqrt 5$，等号当 $A,B,C,D$ 四点共圆时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 5$．

解法三

固定线段 $AD=1$，点 $B$ 在以 $D$ 点为圆心，$\sqrt 5$ 为半径的圆上运动，而 $C$ 点是将 $B$ 绕 $A$ 旋转 $90^\circ$ 后，按缩放比 $2$ 放缩得到的．因此 $C$ 的的轨迹是半径为 $2\sqrt5$ 的圆，且圆心 $D'$ 是将 $D$ 绕 $A$ 旋转 $90^\circ$ 后，按缩放比 $2$ 放缩得到的，此时 $DD'=\sqrt 5$，因此 $CD$ 的取值范围是 $\left[\sqrt 5,3\sqrt 5\right]$．