每日一题[2857]任意双拆

对于正整数集合 $A$，记 $A-\{a\}=\{x\mid x\in A,x\ne a\}$，记集合 $X$ 的所有元素之和为 $S(X)$，且 $S(\varnothing)=0$．若对 $x\in A$，存在非空集合 $A_1,A_2$，满足：

① $A_1\cap A_2=\varnothing$；

② $A_1\cup A_2=A-\{x\}$；③ $S(A_1)=S(A_2)$， 称 $A$ 存在“双拆”．

若对任意 $x\in A$，$A$ 均存在双拆，称 $A$ 可以“任意双拆”．

1、判断集合 $\{1,2,3,4\}$ 和 $\{1,3,5,7,9,11\}$ 是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？

2、$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，证明：$A$ 不能“任意双拆”．

3、若 $A$ 可以“任意双拆”，求 $A$ 中元素个数的最小值．

解析

1、集合 $\{1,2,3,4\}$ 存在双拆，取 $x=4$，$A_1=\{1,2\}$，$A_2=\{3\}$ 即可；

偶数个奇数构成的集合不存在“双拆”（因为去掉任意一个奇数，剩下的奇数个奇数分为两组，必然是一组为奇数个奇数，另外一组为偶数个奇数，它们的元素之和分别为奇数和偶数，矛盾），因此集合 $\{1,3,5,7,9,11\}$ 不存在“双拆”． 若集合 $A$ 存在“任意双拆”，则 当 $S(A)$ 为奇数时，$A$ 的所有元素均为奇数，否则去掉那个偶数，剩余的元素之和为奇数，无法分为元素和相同的两组； 与之类似，当 $S(A)$ 为偶数时，$A$ 的所有元素均为偶数．

进一步，若 $A$ 中所有元素均为奇数，那么可以得到 $A$ 中的元素个数为奇数．因此 $\{1,3,5,7,9,11\}$ 不可以“任意双拆”．

2、不妨设 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，考虑 $a_5$． 若去掉 $a_1$，则 $a_5=a_4+(a_2+a_3)$ 或 $a_5=a_4+(a_3-a_2)$； 若去掉 $a_2$，则 $a_5=a_4+(a_1+a_3)$ 或 $a_5=a_4+(a_3-a_1)$； 而

$$a_4+(a_3-a_2)<a_4+(a_3-a_1)<a_4+(a_1+a_3)<a_4+(a_2+a_3),$$ 因此不存在符合题意的 $a_5$，命题得证．

3、继续第 $(1)$ 小题的推理，事实上，若可以“任意双拆”的集合 $A$ 中的所有元素都是偶数，那么每个元素都除以 $2$ 得到的新集合也可以“任意双拆”，依次推理，可得一个全部元素均为奇数的可以“任意双拆”的集合 $A_0$．这样所有可以“任意双拆”的集合必然是某个可以“任意双拆”的奇数个奇数构成的集合，然后将每个元素统一乘以 $2^k$（$k\in\mathbb N$）得到的． 根据第 $(2)$ 小题的结论，可以“任意双拆”的集合 $A$ 的元素个数不能是 $5$．因此 $A$ 中元素个数的最小值不小于 $7$，接下来给出元素个数为 $7$ 个可以“任意双拆”的集合 $A=\{1,3,5,7,9,11,13\}$，有

$$\begin{array}{c|c|c}\hline x&A_1&A_2\\ \hline 1&3,5,7,9 &11,13 \\ \hline 3&5,7,11 &1,9,13 \\ \hline 5&1,3,7,11 &9,13 \\ \hline 7&1,9,11 &3,5,13 \\ \hline 9&1,3,5,11 &7,13\\ \hline 11&3,7,9 &1,5,13 \\ \hline 13&1,3,5,9 &7,11 \\ \hline\end{array}$$ 综上所述，$A$ 中元素个数的最小值为 $7$．