每日一题[2854]极速分拆

已知数集 $A=\left\{a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n\right\}$（$1=a_1<a_2<\cdots<a_n$，$n \geqslant 2$）具有性质 $P$： 对任意的 $k$（$2 \leqslant k \leqslant n$），存在 $i, j$（$1 \leqslant i \leqslant j \leqslant n$），使得 $a_k=a_i+a_j$ 成立．

1、分别判断数集 $\{1,3,5\}$ 与 $\{1,2,3,6\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由．

2、已知 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$（$n \in \mathbb{N}^{\ast}$），求证：$2 a_n-1 \leqslant S_n$．

3、若 $a_n=36$，求数集 $A$ 中所有元素的和的最小值．

解析

1、对于 $\{1,3,5\}$，$a_2=3$ 无法用 $a_1$ 表示，因此不具有性质 $P$． 对于 $\{1,2,3,6\}$，$2=1+1$，$3=1+2$，$6=3+3$，因此具有性质 $P$．

2、根据题意，有

$$a_k=a_i+a_j\leqslant 2a_{k-1},$$ 取 $k=2,\cdots,n$ 累加，可得 $$S_n-a_1\leqslant 2S_{n-1}\iff a_n-1\leqslant S_{n-1}\iff 2a_n-1\leqslant S_{n-1}+a_n,$$ 命题得证．

3、当 $A=\{1,2,3,6,9,18,36\}$ 或 $\{1,2,4,5,9,18,36\}$ 时，$S_n=75$，数集 $A$ 中所有元素的和 $S_n$ 的最小值为 $75$，证明如下．

根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $S_k\geqslant 2a_k-1$（$k=1,2,\cdots,n$）．

首先容易得到 $a_2=2$．若 $36=a_i+a_j$（$a_i<18<a_j$），则

$$A=\{1,2,\cdots,a_i,a_j,36\},$$ 于是 $$\begin{cases} S_n\geqslant 36+(2a_j-1),\\ S_n\geqslant 36+a_j+(2a_i-1),\end{cases}\iff \begin{cases} S_n\geqslant 2a_j+36,\\ S_n\geqslant 107-a_j,\end{cases}$$ 此时必然有 $S_n\geqslant 83$，因此 $a_{n-1}=18$．类似的，可以推出 $a_{n-2}=9$．这样就有集合 $$A=\{1,2,\cdots,9,18,36\}.$$ 若 $a_3=3$，则集合 $A$ 中至少还需要 $a_4=6$； 若 $a_3=4$，则集合 $A$ 中至少还需要 $a_4=5$；

因此数集 $A$ 中所有元素的和 $S_n$ 的最小值为 $75$．