每日一题[2852]偶系方程

若 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=0$ 的两个实数根，且 $|x_1|+|x_2|=2|k|$（$k$ 是整数），则称方程 $x^2+bx+c=0$ 为偶系二次方程．如方程 $x^2-6x-27=0$，$x^2-2x-8=0$，$x^2+3x-\dfrac{27}4=0$，$x^2+6x-27=0$，$x^2+4x+4=0$，都是偶系二次方程．

1、判断方程 $x^2+x-12=0$ 是不是偶系二次方程，并说明理由．

2、已知 $b$ 是整数，是否存在实数 $c$，使得关于 $x$ 的方程 $x^2+bx+c=0$ 是偶系二次方程，并说明理由．

解析

1、题中方程的两根分别为 $-4,3$，于是 $|x_1|+|x_2|=7$，不是偶系二次方程．

2、判别式 $\Delta=b^2-4c\geqslant 0$，于是 $c\leqslant \dfrac {b^2}4$．根据韦达定理，有 $x_1x_2=c$，于是 $$|x_1|+|x_2|=\begin{cases} |x_1+x_2|,&c\geqslant 0,\\ |x_1-x_2|,&c<0,\end{cases}=\begin{cases} |b|,&c\geqslant 0,\\ \sqrt{b^2-4c},&c<0,\end{cases}$$ 若 $b$ 是偶数，则取 $c=0$，此时有 $|x_1|+|x_2|=|b|$，因此方程 $x^2+bx+c=0$ 是偶系二次方程； 若 $b$ 是奇数，则取 $c=-\dfrac{3b^2}4$，此时有 $$|x_1|+|x_2|=\sqrt{b^2-4\cdot\left(-\dfrac {3b^2}4\right)}=2|b|,$$ 因此方程 $x^2+bx+c=0$ 是偶系二次方程． 综上所述，对于给定的整数 $b$，取 $c=\begin{cases} 0,&2\mid b,\\ -\dfrac{3b^2}4,&2\nmid b\end{cases}$，即可使得 $x^2+bx+c=0$ 是偶系二次方程．

备注    事实上，若考虑 $x_1+x_2=-b$，取 $x_1=-\dfrac 32b$，$x_2=\dfrac 12b$，则 $$|x_1|+|x_2|=\dfrac32|b|+\dfrac 12|b|=2|b|,$$ 因此只需要取 $c=-\dfrac 34b^2$ 即可．