每日一题[2842]切线反射

椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别是 ${F_1},{F_2}$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3 }{2}$，过 ${F_1}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $1$．

1、求椭圆 $C$ 的方程．

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上除长轴端点外的任一点，连接 $P{F_1},P{F_2}$，设 $\angle {F_1}P{F_2}$ 的角平分线 $PM$ 交 $C$ 的长轴于点 $M\left( {m,0} \right)$，求 $m$ 的取值范围．

3、在 $(2)$ 的条件下，过点 $P$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$，使得 $l$ 与椭圆 $C$ 有且只有一个公共点．设直线 $P{F_1},P{F_2}$ 的斜率分别为 ${k_1},{k_2}$，若 $k \ne 0$，试证明 $\dfrac{1}{{k{k_1}}} + \dfrac{1}{{k{k_2}}}$ 为定值，并求出这个定值．

解析

1、本题考查的是椭圆的基本量与标准方程，用基本量表达条件求解即可．

根据题意，椭圆 $C$ 的通径长 $\dfrac{2b^2}a=1$，又离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，于是

$$\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2,$$ 解得 $a=2$，$b=1$，因此所求椭圆方程为 $\dfrac{{{x}^{2}}}{4}+{{y}^{2}}=1$．

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，利用椭圆的光学性质表达角平分线的方程是解决问题的关键．

设 $P(x_0,y_0)$，根据椭圆的光学性质，$\angle F_1PF_2$ 的角平分线为椭圆在 $P$ 处的切线 $l$ 位于 $P$ 的法线．直线

$$l:~\dfrac{x_0x}{4}+y_0y=1,$$ 因此直线 $$PM:~y_0x-\dfrac{x_0y}4=\dfrac 34x_0y_0,$$ 进而 $m=\dfrac 34x_0$，由于 $x_0$ 的取值范围是 $(-2,2)$，因此 $m$ 的取值范围是 $\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right)$．

3、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，用点的坐标为参数表达求解量是解决问题的关键．

设 $P(x_0,y_0)$（其中 $x_0\ne 0$），根据第 $(2)$ 小题的结果，有

$$\begin{split} \dfrac{1}{kk_1}+\dfrac{1}{kk_2}&=\dfrac 1k\left(\dfrac{1}{k_1}+\dfrac1{k_2}\right)\\ &=-\dfrac{4y_0}{x_0}\cdot \left(\dfrac{x_0-\sqrt 3}{y_0}+\dfrac{x_0+\sqrt 3}{y_0}\right)\\ &=-8,\end{split}$$ 因此命题成立，所求定值为 $-8$．