每日一题[2838]距离最值

已知直线 $l$ 过点 $A(2,3,1)$，向量 $\boldsymbol n=(1,0,-1)$ 所在直线与 $l$ 垂直，则点 $P(4,3,2)$ 到直线 $l$ 的距离的最小值为_______．

答案    $\dfrac{\sqrt 2}2$．

解析    设 $\alpha$ 是过点 $A$ 且法向量为 $\boldsymbol n$ 的平面，则直线 $l\subset \alpha$．设点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的投影为 $H$，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离 $d\leqslant |PH|$，等号当且仅当直线 $l=PH$ 时取得，因此所求最小值为 $\overrightarrow{AP}$ 在 $\boldsymbol n$ 上的投影的长度，为 $$\dfrac{\left|\overrightarrow {AP}\right|\cdot \boldsymbol n}{|\boldsymbol n|}=\dfrac{(2,0,1)\cdot (1,0,-1)}{|(1,0,-1)|}=\dfrac{\sqrt 2}2.$$