每日一题[2832]平方凑整

为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取 $5$ 个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为 $7$，样本方差为 $4$，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_______．

答案    $10$．

解析    本题考查统计数据的数字特征，列写出约束条件后根据极端情况求出最值即可．

设 $5$ 个班级中参加的人数分别为 ${x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}$，在根据题意有

$$\begin{cases} \dfrac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4} + {x_5}}}{5} = 7,\\ {\left( {{x_1} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_2} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_3} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_4} - 7} \right)^2} + {\left( {{x_5} - 7} \right)^2} = 20,\end{cases}$$ 由于样本数据互不相同，且五个整数的平方和为 $20$，则必为 $$(-3)^2+(-1)^2+0^2+1^2+3^2=20,$$ 因此各班参加课外书法小组的人数分别为 $4,6,7,8,10$，所求最大值为 $10$．