每日一题[2821]端点分析

已知函数 $f\left(x\right) = {x^3} + 3a{x^2} + 3x + 1$．

1、当 $a = - \sqrt 2$ 时，讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性． 若

2、$x \in \left[ {2, + \infty } \right)$ 时，$f\left(x\right) \geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、本题考查利用导数研究函数的单调性，根据导函数的零点分段讨论即可．

函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3x^2-6\sqrt 2x+3=3\left(x-\left(\sqrt 2-1\right)\right)\left(x-\left(\sqrt 2+1\right)\right),$$ 于是 $$\begin{array}{c|ccccc}\hline x&\left(-\infty,\sqrt 2-1\right)&\sqrt 2-1&\left(\sqrt 2-1,\sqrt 2+1\right)&\sqrt 2+1&\left(\sqrt 2+1,+\infty\right)\\ \hline f'(x)&+&0&-&0&+\\ \hline f(x)&\nearrow&\text{极大值}&\searrow&\text{极小值}&\nearrow \\ \hline\end{array}$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,x_1)$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，在 $(x_2,+\infty)$ 上单调递增，其中 $x_1=\sqrt 2-1$，$x_2=\sqrt 2+1$．

2、本题考查含参不等式恒成立问题，端点分析得到必要条件后论证充分性是解决问题的关键．

一方面，取 $x=2$，有

$$f\left(2\right) \geqslant 0\implies a \geqslant - \dfrac{5}{4}.$$ 另一方面，当 $a \geqslant - \dfrac{5}{4}$ 时，在 $x \in \left(2, + \infty \right)$ 上，有 $$f'\left(x\right) = 3\left({x^2} + 2ax + 1\right) \geqslant 3\left( {{x^2} - \dfrac{5}{2}x + 1} \right) = 3\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left(x - 2\right) > 0,$$ 所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(2, + \infty \right)$ 上是增函数，于是当 $x \in \left[ {2, + \infty } \right)$ 时，有 $$f\left(x\right) \geqslant f\left(2\right) \geqslant 0.$$

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[ { - \dfrac{5}{4}, + \infty } \right)$．