每日一题[2817]内外有别

已知圆 $M:{\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1$，圆 $N:{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 9$，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$．

1、求 $C$ 的方程．

2、$l$ 是与圆 $P,M$ 都相切的一条直线，$l$ 与曲线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $\left| {AB} \right|$．

解析

1、本题考查圆与圆的位置关系以及椭圆方程的定义，将圆与圆的位置关系转化为到两定点的距离之和即可．

设动圆的半径为 $R$．因为圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并且与圆 $N$ 内切，所以

$$\begin{split}\left| {PM} \right| + \left| {PN} \right| = \left( {R + 1} \right) + \left( {3 - R} \right) = 4.\end{split}$$ 由椭圆的定义可知，曲线 $C$ 是以 $M,N$ 为左、右焦点，长半轴长为 $2$，短半轴长为 $\sqrt 3$ 的椭圆（左顶点除外），其方程为 $$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1,~x\ne -2.$$

2、本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，注意分情况讨论两种不同类型的切线是解决问题的关键．

当 $P$ 点位于椭圆 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$ 的右顶点 $(2,0)$ 时，其半径最长，此时圆 $P:(x-2)^2+y^2=4$，直线 $l$ 可能是圆 $P,M$ 的外公切线，也有可能是 $P,M$ 的内公切线，如图．

情形一    直线 $l$ 是圆 $P,M$ 的外公切线．设直线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $T$，则 $|TP|$ 与 $|TM|$ 为圆 $P,M$ 的半径之比，为 $2$，从而 $T(-4,0)$，因此直线 $l$ 的倾斜角 $\theta$ 满足 $\sin\theta=\dfrac 13$，进而直线

$$l:x=\pm 2\sqrt 2y-4,$$ 与椭圆方程联立可得 $$\dfrac 73y^2-4\sqrt 2y+3=0,$$ 因此直线 $l$ 被椭圆截得的弦长 $$|AB|=\sqrt{1+\left(2\sqrt 2\right)^2}\cdot \dfrac{\sqrt{\left(-4\sqrt2\right)^2-4\cdot \dfrac 73\cdot 3}}{\dfrac 73}=\dfrac{18}7.$$

情形二    直线 $l$ 是圆 $P,M$ 的内公切线．此时直线 $l$ 为 $y$ 轴，因此 $|AB|=2\sqrt 3$．

综上所述，当圆 $P$ 的半径最长时，$|AB|=\dfrac{18}7$ 或 $2\sqrt 3$．