每日一题[2808]三点定乾坤

已知函数 $f\left(x\right) = x\left( {1 + a\left| x \right|} \right)$．设关于 $x$ 的不等式 $f\left( {x + a} \right) < f\left( x \right)$ 的解集为 $A$，若 $\left[ { - \dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right] \subseteq A$，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right)$

B．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 3 }{2},0} \right)$

C．$\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right) \cup \left( {0,\dfrac{1 + \sqrt 3 }{2}} \right)$

D．$\left( { - \infty ,\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2}} \right)$

答案    A．

解析    实数 $a$ 的取值范围是 $\left( {\dfrac{1 - \sqrt 5 }{2},0} \right)$．

必要性    取 $x=0$，可得 $$f(a)<f(0)\iff a(1+a^2)<0\iff a<0,$$ 此时 $f(x)$ 的草图如下．

再取 $x=-\dfrac 12$，可得 $$f\left(-\dfrac 12+a\right)<f\left(-\dfrac 12\right)\iff \left(-\dfrac 12+a\right)\left(1+a\left(\dfrac 12-a\right)\right)<-\dfrac 12\left(1+\dfrac 12a\right),$$ 解得 $\dfrac{1-\sqrt 5}2<a<0$．

充分性    当 $x\in\left[0,\dfrac 12\right]$ 时，有 $$\dfrac 1a<\dfrac{1-\sqrt 5}2\leqslant x+a\leqslant \dfrac{2-\sqrt 5}2<0,$$ 而 $$0\leqslant x\leqslant \dfrac 12<-\dfrac 1a\implies f(x+a)<0\leqslant f(x),$$ 当 $x\in\left[-\dfrac 12,0\right)$ 时，有 $$-\dfrac 12+a\leqslant x+a<a\implies f(x+a)\leqslant f\left(-\dfrac 12 +a\right)<f\left(-\dfrac 12\right)\leqslant f(x).$$