每日一题[2807]层峦叠嶂

设数列 $\left\{ {a_n} \right\}$： $$1, - 2, - 2,3,3,3, - 4, - 4, - 4, - 4, \cdots ,\underbrace {{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k, \cdots ,{{\left( { - 1} \right)}^{k - 1}}k}_{k~\text{个}}, \cdots ,$$ 即当 $\dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2} < n \leqslant \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2}$（$k \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$）时，${a_n} = {\left( { - 1} \right)^{k - 1}}k$．记 ${S_n} = {a_1} + {a_2} + \cdots + {a_n}$（$n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$）．对于 $l \in {{\mathbb{N}}^{\ast}}$，定义集合 ${P_l} = \left\{ {n\mid {S_n}~\text{是}~{a_n}~\text{的整数倍}~,n \in {{\mathbb{N}}^{\ast}},~\text{且}~1 \leqslant n \leqslant l} \right\}$．

1、求集合 ${P_{11}}$ 中元素的个数．

2、求集合 ${P_{2000}}$ 中元素的个数．

解析

1、本题考查对新定义数列的理解，通过计算通项和前 $n$ 项和熟悉新数列即可． 根据题意，有 $$\begin{array}{c|ccccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ \hline a_n&1&-2&-2&3&3&3&-4&-4&-4&-4&5\\ \hline S_n&1&-1&-3&0&3&6&2&-2&-6&-10&-5\\ \hline a_n\mid S_n&\checkmark&&&\checkmark&\checkmark&\checkmark&&&&&\checkmark\\ \hline \end{array}$$ 因此集合 $P_{11}$ 中元素的个数为 $5$．

2、本题考查归纳推理以及论证，从第 $(1)$ 小题的结果中归纳出一般情况并论证是解决问题的关键． 观察第 $(1)$ 小题的结果，可以猜测

引理    当 $a_n$ 是奇数时，$a_n\mid S_n$；当 $a_n$ 是偶数时，$a_n\nmid S_n$．

引理的证明    记 $T(m)=\dfrac{m(m+1)}2$，则当 $T(m-1)<n\leqslant T(m)$ 时，有 $$a_n=(-1)^{m+1}\cdot m,$$ 且 $$S_{T(m)}=\sum_{k=1}^m(-1)^{k-1}k^2=(-1)^{m+1}\cdot m\cdot \dfrac{m+1}2=a_n\cdot \dfrac{m+1}2,$$ 因此当 $m$ 是奇数时，有 $a_n\mid S_{T(m)}$；当 $m$ 是偶数时，有 $a_n\nmid S_{T(m)}$，引理得证．

回到原题    考虑到 $$T(62)=1953<2000<2016=T(63),$$ 因此 $P_{2000}$ 中元素的个数为 $$1+3+5+\cdots+61+(2000-1953)=1008.$$

备注    一般的，若 $T(m)\leqslant n< T(m+1)$，则 $P_n$ 中的元素的个数为\[ \sum_{k=1}^{\left[\frac{m+1}2\right]}(2k-1)+n-T(m).\]