在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y=1x(x>0)图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 2√2,则满足条件的实数 a 的所有值为_______.
答案 −1,√10.
解析 本题考查两点间的距离公式以及含参二次函数的最值,通过换元转化是解决问题的关键. 设 P(x,1x)(x>0),则根据两点间距离公式得|PA|=√(x−a)2+(1x−a)2=√(x+1x)2−2a(x+1x)+2a2−2,令 x+1x=t,则 t∈[2,+∞),而g(t)=t2−2at+2a2−2=(t−a)2+a2−2,根据题意,使 g(t) 在 [2,+∞) 上的最小值为 (2√2)2=8 即可,也即{a⩾2,g(a)=8,∨{a<2,g(2)=8,⟺a=√10∨a=−1.