每日一题[2804]对勾换元

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设定点 $A\left(a,a\right)$，$P$ 是函数 $y = \dfrac{1}{x}$（$x > 0$）图象上一动点，若点 $P,A$ 之间的最短距离为 $2\sqrt 2$，则满足条件的实数 $a$ 的所有值为_______．

答案   $- 1,\sqrt {10}$．

解析    本题考查两点间的距离公式以及含参二次函数的最值，通过换元转化是解决问题的关键． 设 $P\left(x,\dfrac 1x\right)$（$x>0$），则根据两点间距离公式得 $$|PA|=\sqrt {\left(x-a\right)^2+\left(\dfrac 1x-a\right)^2}=\sqrt {\left(x+\dfrac 1x\right)^2-2a\left(x+\dfrac 1x\right)+2a^2-2},$$ 令 $x+\dfrac 1x=t$，则 $t\in \left[2,+\infty\right)$，而 $$g\left(t\right)=t^2-2at+2a^2-2 =\left(t-a\right)^2+a^2-2,$$ 根据题意，使 $g\left(t\right)$ 在 $\left[2,+\infty\right)$ 上的最小值为 $\left(2\sqrt 2\right)^2=8$ 即可，也即 $$\begin{cases} a\geqslant 2,\\ g(a)=8,\end{cases}\lor \begin{cases} a<2,\\ g(2)=8,\end{cases}\iff a=\sqrt{10}\lor a=-1.$$