每日一题[2804]对勾换元

在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a)P 是函数 y=1xx>0)图象上一动点,若点 P,A 之间的最短距离为 22,则满足条件的实数 a 的所有值为_______.

答案   1,10

解析    本题考查两点间的距离公式以及含参二次函数的最值,通过换元转化是解决问题的关键. 设 P(x,1x)x>0),则根据两点间距离公式得|PA|=(xa)2+(1xa)2=(x+1x)22a(x+1x)+2a22,x+1x=t,则 t[2,+),而g(t)=t22at+2a22=(ta)2+a22,根据题意,使 g(t)[2,+) 上的最小值为 (22)2=8 即可,也即{a2,g(a)=8,{a<2,g(2)=8,a=10a=1.

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