每日一题[2762]参数方程

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的两个焦点分别为 ${F_1}\left( { - 1,0} \right)$，${F_2}\left( {1,0} \right)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left( {\dfrac{4}{3},\dfrac{1}{3}} \right)$．

1、求椭圆 $C$ 的离心率．

2、设过点 $A\left( {0,2} \right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M,N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\dfrac2{|AQ|^2}=\dfrac1{|AM|^2}+\dfrac1{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程．

解析

1、根据椭圆的定义，有

$$\begin{cases} 2a = \left|P{F_1} \right| + \left|P{F_2} \right|,\\ 2c=|F_1F_2|,\end{cases}\iff \begin{cases} a = \sqrt 2,\\ c=1,\end{cases}$$ 所以椭圆 $C$ 的离心率 $$e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{\sqrt 2 }{2}.$$

2、根据第 $(1)$ 小题的结果，椭圆 $C:\dfrac{x^2}2+y^2=1$．设直线 $l:\begin{cases} x=t,\\ y=2+kt,\end{cases}$ 且 $M,N,Q$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2,t_0$，则联立椭圆 $C$ 与直线 $l$ 的方程可得

$$\left(\dfrac 12+k^2\right)t^2+4kt+3=0,$$ 该关于 $t$ 的二次方程的两个根为 $t_1,t_2$，于是 $$\Delta=16k^2-6(2k^2+1)>0\iff k^2>\dfrac 32,$$ 且 $$\dfrac2{|AQ|^2}=\dfrac1{|AM|^2}+\dfrac1{|AN|^2}\iff \dfrac2{t_0^2}=\dfrac{1}{t_1^2}+\dfrac1{t_2^2}\iff \dfrac{2}{t_0^2}=\dfrac{(t_1+t_2)^2-2t_1t_2}{(t_1t_2)^2},$$ 结合韦达定理，有 $$\dfrac{2}{t_0^2}=\dfrac{10k^2-3}9,$$ 因此 $Q$ 的轨迹方程为 $$\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{10\left(\dfrac{y-2}x\right)^2-3}9\iff 10(y-2)^2-3x^2=18,$$ 其中 $$\dfrac{2}{x^2}=\dfrac{10k^2-3}9>\dfrac 43\iff x\in\left( { - \dfrac{\sqrt 6 }{2},\dfrac{\sqrt 6 }{2}} \right).$$ 综上所述，所求 $Q$ 点的轨迹方程是 $10{\left( {y - 2} \right)^2} - 3{x^2} = 18$，其中 $x \in \left( { - \dfrac{\sqrt 6 }{2},\dfrac{\sqrt 6 }{2}} \right)$．