每日一题[2757]最值函数零点

已知 $f(x)=\min \left\{|x|-2, x^{2}-a x+3 a-5\right\}$，若 $f(x)$ 至少有 $3$ 个零点，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

答案    $[10,+\infty)$．

解析    设 $g(x)=|x|-2$，$h(x)=x^2-ax+3a-5$，$h(x)$ 对应的判别式 $\Delta=a^2-12a+20$，当 $\Delta<0$ 时 $f(x)$ 至多有 $2$ 个零点（实际上就是 $2$ 个零点），不符合题意．因此 $a\leqslant 2$ 或 $a\geqslant 10$． 当 $\Delta=0$ 时，容易验证 $a=10$ 符合题意． 当 $\Delta>0$ 时，设 $g(x)$ 的两个零点分别为 $x_1=-2$，$x_2=2$，$h(x)$ 的两个零点分别为 $x_3,x_4$（$x_3<x_4$），记 $A=[x_1,x_2]$，$B=[x_3,x_4]$，则

命题 $p$     $t$ 不为 $f(x)$ 的零点或者是重零点；

命题 $q$      $t$ 是 $g(x)$ 的零点且 $t\in B$，或者 $t$ 是 $h(x)$ 的零点且 $t\in A$；

二者等价．这就说明若 $f(x)$ 至少有 $3$ 个零点，那么 $g(x)$ 与 $h(x)$ 的零点的排列只可能是 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 或者 $x_3,x_4,x_1,x_2$．也即 $$\begin{cases} \dfrac a2>2,\\ h(2)>0,\end{cases}\lor \begin{cases} \dfrac a2<-2,\\ h(-2)>0,\end{cases}$$ 解得实数 $a$ 的取值范围是 $[10,+\infty)$．