每日一题[2754]分类讨论

正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，$E,F,G,H$ 分别是正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 四边的中点．在 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 这 $8$ 个点中任取 $3$ 个点组成三角形，这些三角形按不同的面积分类，共有_______类，其中最大的面积等于_______．

答案    $7$；$\dfrac {\sqrt2}{2}$．

解析    按在 $M=\{A,B,C,D\}$ 和 $N=\{E,F,G,H\}$ 的点的个数分类．

$$\begin{array}{cc|cc|c}\hline M&N&M~\text{中的点}&N~\text{中的点}&\text{面积}\\ \hline 3&0&ABC&&\dfrac 12\\ \hline 2&1&AB&E&\dfrac 12\\ \hline &&&F&\dfrac{\sqrt 5}4\\ \hline &&&G&\dfrac{\sqrt 2}2\\ \hline &&AC&E&\dfrac{\sqrt 7}4\\ \hline 1&2&A&EF&\dfrac 38 \\ \hline && B&&\dfrac 38\\ \hline && D&&\dfrac {\sqrt{17}}8\\ \hline && A&EG&\dfrac{\sqrt 5}4\\ \hline 0&3&&EFG&\dfrac14 \\ \hline \end{array}$$ 可知，三角形的不同面积有 $$\dfrac {1}{4},\dfrac {3}{8},\dfrac {1}{2},\dfrac {\sqrt {17}}{8},\dfrac {\sqrt 5}{4},\dfrac {\sqrt 7}{4},\dfrac {\sqrt2}{2},$$ 共 $7$ 类，其中最大的面积等于 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．