每日一题[2747]扩散反应

已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac 1x+x$，设 $x_1,x_2,x_3$ 是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_1<x_2<x_3$，则（       ）

A．存在实数 $a$，使得 $x_2-x_1>1$

B．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_2>1$

C．存在实数 $a$，使得 $x_3-x_2>3$

D．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_1>3$

答案    ABC．

解析    如图，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0),(0,1),(1,+\infty)$ 上均单调递增．

由于

$$\dfrac{1}{1-m}-\dfrac 1m+m=\dfrac{1}{1-n}-\dfrac 1n+n$$ 等价于 $$\dfrac{(m-n)(1-m+mn)(1-n+mn)}{mn(1-m)(1-n)}=0$$ 且 $x_1<0<x_2<1<x_3$，于是可得 $$x_1=1-\dfrac{1}{x_2},\quad x_2=1-\dfrac{1}{x_3},$$ 其中 $x_2\in(0,1)$，于是 $$x_2-x_1=x_2+\dfrac{1}{x_2}-1>1,$$ 而 $$x_3-x_2=x_3+\dfrac{1}{x_3}-1>1,$$ 且取 $x_3=4$ 即有 $x_3-x_2>3$；又 $$x_3-x_1=\dfrac{1}{1-x_2}-1+\dfrac{1}{x_2}\geqslant 3,$$ 当 $x_2=\dfrac12$ 时取得等号．

这样就有选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误．

备注    ① 函数 $f(x)$ 关于 $\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 对称；

② $x_3-x_2$ 随 $a$ 的递增而递增（$x_3$ 随着 $a$ 的递增而递增），取值范围是 $(1,+\infty)$．也可以通过 $f'(x_2)>f'(x_3)$ 证明．事实上

$$f'(x_2)=x_3^2+\dfrac{x_3^2}{(x_3-1)^2}+1>\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{(x_3-1)^2}+1=f'(x_3),$$ 命题得证．