已知函数 $f(x)=\dfrac{1}{1-x}-\dfrac 1x+x$，设 $x_1,x_2,x_3$ 是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=a$ 的三个交点的横坐标，且 $x_1<x_2<x_3$，则（ ）
A．存在实数 $a$，使得 $x_2-x_1>1$
B．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_2>1$
C．存在实数 $a$，使得 $x_3-x_2>3$
D．任给实数 $a$，都有 $x_3-x_1>3$
答案 ABC．
解析 如图，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0),(0,1),(1,+\infty)$ 上均单调递增．
由于\[\dfrac{1}{1-m}-\dfrac 1m+m=\dfrac{1}{1-n}-\dfrac 1n+n\]等价于\[\dfrac{(m-n)(1-m+mn)(1-n+mn)}{mn(1-m)(1-n)}=0\]且 $x_1<0<x_2<1<x_3$，于是可得\[x_1=1-\dfrac{1}{x_2},\quad x_2=1-\dfrac{1}{x_3},\]其中 $x_2\in(0,1)$，于是\[x_2-x_1=x_2+\dfrac{1}{x_2}-1>1,\]而\[x_3-x_2=x_3+\dfrac{1}{x_3}-1>1,\]且取 $x_3=4$ 即有 $x_3-x_2>3$；又\[x_3-x_1=\dfrac{1}{1-x_2}-1+\dfrac{1}{x_2}\geqslant 3,\]当 $x_2=\dfrac12$ 时取得等号．
这样就有选项 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误．
备注 ① 函数 $f(x)$ 关于 $\left(\dfrac 12,\dfrac 12\right)$ 对称；
② $x_3-x_2$ 随 $a$ 的递增而递增（$x_3$ 随着 $a$ 的递增而递增），取值范围是 $(1,+\infty)$．也可以通过 $f'(x_2)>f'(x_3)$ 证明．事实上\[f'(x_2)=x_3^2+\dfrac{x_3^2}{(x_3-1)^2}+1>\dfrac{1}{x_3^2}+\dfrac{1}{(x_3-1)^2}+1=f'(x_3),\]命题得证．