每日一题[2742]齐心协力

已 知 $a, b \in \mathbb{R}$，$z_{1}=5-a+(6-4 b) \mathrm{i}$，$z_{2}=2+2 a+(3+b) \mathrm{i}$，$z_{3}=3-a+(1+3 b) {\rm i}$，当 $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\left|z_{3}\right|$ 最小时，$3 a+2 b=$（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．前三个答案都不对

答案    C、

解析    根据题意，有

$$|z_1|+|z_2|+|z_3|\geqslant |z_1+z_2+z_3|=|10+10{\rm i}|=10\sqrt 2,$$ 等号且仅当 $\arg z_1=\arg z_2=\arg z_3=\arg(10+10{\rm i})$ 时取得，此时有 $$\begin{cases} 5-a=6-4b,\\ 2+2a=3+b,\\ 3-a=1+3b,\end{cases}\iff \begin{cases} a=\dfrac 57,\\ b=\dfrac 37,\end{cases}$$ 因此 $3a+2b=3$、