每日一题[2725]糖果大作战

$A, B, C$ 三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由 $A$ 给 $B, C$，所给的糖数等于 $B, C$ 原来各有的糖数，依同法再由 $B$ 给 $A, C$ 现有糖数，后由 $C$ 给 $A, B$ 现有糖数，互送后每人恰好各有 $64$ 粒．问原来三人各有糖多少粒？

答案    原来甲有糖 $104$ 粒，乙有糖 $56$ 粒，丙有糖 $32$ 粒．

解析    根据最后每个人拥有的糖数反推，有

$$\begin{array}{c|ccc}\hline &A&B&C\\ \hline \text{最后}&64&64&64\\ \hline \text{第三次赠送前}&32&32&128\\ \hline \text{第二次赠送前}&16&112&64\\ \hline \text{第一次赠送前}&104&56&32\\ \hline \end{array}$$

备注    一般的，有

$$\begin{array}{c|ccc}\hline &A&B&C\\ \hline \text{最后}&a&b&c\\ \hline \text{第三次赠送前}&\dfrac 12a&\dfrac 12b&\dfrac 12a+\dfrac 12b+c\\ \hline \text{第二次赠送前}&\dfrac14a&\dfrac 12a+\dfrac 34b+\dfrac 12c&\dfrac14a+\dfrac14b+\dfrac 12c\\ \hline \text{第一次赠送前}&\dfrac 58a+\dfrac 12b+\dfrac 12c&\dfrac 14a+\dfrac38b+\dfrac 14c&\dfrac 18a+\dfrac 18b+\dfrac 14c\\ \hline \end{array}$$ 也就是说 $$\begin{cases} a_n=\dfrac 58a_{n+1}+\dfrac 12b_{n+1}+\dfrac 12c_{n+1},\\ b_n=\dfrac 14a_{n+1}+\dfrac 38b_{n+1}+\dfrac 14c_{n+1},\\ c_n=\dfrac 18a_{n+1}+\dfrac 18b_{n+1}+\dfrac 14c_{n+1},\end{cases}\iff \begin{cases} a_{n+1}=4a_n-4b_n-4c_n,\\ b_{n+1}=-2a_n+6b_n-2c_n,\\ c_{n+1}=-a_n-b_n+7c_n,\end{cases}$$ 设 $a_n+b_n+c_n=t$（为常数），则 $$\begin{cases} a_{n+1}=8a_n-4t,\\ b_{n+1}=8b_n-2t,\\ c_{n+1}=8c_n-t,\end{cases}$$ 这就意味着如果反向操作（每个人得到其余两个人的一半数量的糖，轮流三次为一轮），那么最后 $A,B,C$ 拥有的糖的数量趋于总数的 $\dfrac 47,\dfrac 27,\dfrac 17$．