每日一题[2723]对称换元

已知 $a^{2}+a b+b^{2}=3$，$M=a^{2}+b^{2}-a b$，则 （       ）

A．$M$ 的最小值为 $1$

B．$M$ 的最小值为 $2$

C．$M$ 的最大值为 $9$

D．$M$ 的最大值为 $8$

答案    AC．

解析    设 $a=m+n$，$b=m-n$，则

$$\begin{cases} a^2+ab+b^2=3,\\ a^2-ab+b^2=m,\end{cases}\iff \begin{cases} 3m^2+n^2=3,\\ m^2+3n^2=M,\end{cases}$$ 因此 $m^2$ 的取值范围是 $[0,1]$，而 $$M=m^2+3(3-3m^2)=9-8m^2,$$ 其取值范围是 $[1,9]$．