每日一题[2692]破纪录

设数列 $E: a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{M}$（$M \geqslant 2$），若 $\exists n \in \mathbb N^{*}$ 且 $n \geqslant 2$，使得 $a_{i}>a_{n}$（$i=1,2,3, \cdots, n-1$）成立，则称 $n$ 为数列 $E$ 的一个至低点．若数列 $E$ 有 $p$ 个至低点，则称数列 $E$ 为 $p$ 阶至低数列．

1、直接写出数列 $E:-1,2,0,-2,4,-5$ 的所有至低点．

2、证明：若数列 $E$ 为 $0$ 阶至低数列，则有 $a_{1} \leqslant a_{n}$（$n=1,2,3, \cdots, M$）．

3、若数列 $E$ 为 $k$ 阶至低数列，且满足 $a_{n+1} \geqslant a_{n}-2$（$n \in \mathbb N^{\ast}$）．证明：$a_{1}-a_{M} \leqslant 2 k$．

解析

1、数列 $E$ 的至低点为 $4,6$

2、用反证法，若结论不成立，则存在 $m\in \{1,2,3,\cdots,M\}$，使得 $a_m<a_1$．假设这样的 $m$ 中最小的为 $m_0$（$m_0\geqslant 2$），则 $$a_{m_0}<a_1\leqslant a_n,\quad n=1,2,\cdots,m_0-1,$$ 因此 $m_0$ 是数列 $E$ 的至低点，与数列 $E$ 为 $0$ 阶至低数列矛盾． 因此原命题得证．

3、设数列 $E$ 的至低点分别为 $n_1,n_2,\cdots,n_k$，且 $n_1<n_2<\cdots<n_k$，则根据题意，有 $$\begin{split} E_1&:a_1,a_2,\cdots,a_{n_1-1},\\ E_2&:a_{n_1},a_{n_1+1},\cdots,a_{n_2-1},\\ &\cdots,\\ E_k&:a_{n_{k-1}},a_{n_{k-1}+1},\cdots,a_{n_k-1},\\ E_{k+1}&:a_{n_k},a_{n_k+1},\cdots,a_M,\end{split}$$ 这 $k+1$ 个数列均为 $0$ 阶至低数列，根据第 $(2)$ 小题的结论，有 $$\begin{cases} a_1-a_{n_1}\leqslant a_{n_1-1}-a_{n_1}\leqslant 2,\\ a_{n_1}-a_{n_2}\leqslant a_{n_2-1}-a_{n_2}\leqslant 2,\\ \cdots,\\ a_{n_{k-1}}-a_{n_k}\leqslant a_{n_k-1}-a_{n_k}\leqslant 2,\\ a_{n_k}-a_M\leqslant 0,\end{cases}$$ 累加即得，命题得证．

备注    可以类比于实际生活中的破记录，$k$ 阶至低数列即在成绩数列中破了 $k$ 次记录．