若关于 $x$ 的不等式 $2 \mathrm{e}^{x-2}+(a-2) x+2>2 a+a \ln (x-1)$ 在 $(2,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$\left[-\dfrac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
B．$(-1,+\infty)$
C．$[-1,+\infty)$
D．$[-2,+\infty)$
答案 D．
解析 题中不等式即\[2{\rm e}^{x-2}-2x+2+(x-2-\ln(x-1))\cdot a>0,\]设左侧函数为 $f(x)$，则 $f(2)=0$，进而\[f'(x)=2{\rm e}^{x-2}-2+a\left(1-\dfrac{1}{x-1}\right),\]而 $f'(2)=0$，进而\[f''(x)=2{\rm e}^{x-2}+a\cdot \dfrac1{(x-1)^2},\]而 $f''(2)=2+a$，因此 $a\geqslant -2$． 当 $a\geqslant -2$ 时，有\[f(x)\geqslant 2{\rm e}^{x-2}-2x+2+2(x-2-\ln(x-1))=2{\rm e}^{x-2}-2-2\ln(x-1),\]而我们熟知\[{\rm e}^{x-2}\geqslant x-1,\quad \ln(x-1)\leqslant x-2,\]从而\[f(x)\geqslant 2(x-1)-2-2(x-2)=0,\]符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[-2,+\infty)$．