每日一题[2665]阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点 $M$ 与两个定点的距离之比为常数 $\lambda$（$\lambda>0$，$\lambda \neq 1$），那么点 $M$ 的轨迹为圆（人们称之为阿波罗尼斯圆）．在 $\triangle A B C$ 中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$，$D$ 为 $A B$ 的中点，且 $|C D|=\dfrac{\sqrt{3}}{2}|A B|$，则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为（       ）

A．$\sqrt{3}$

B．$2$

C．$2 \sqrt{2}$

D．$2 \sqrt{3}$

答案    D．

解析    根据题意，有 $\dfrac{|DC|}{|DB|}=\sqrt 3$，且 $\triangle ABC$ 的面积

$$[\triangle ABC]=2[\triangle DBC].$$ 设阿波罗尼斯圆的圆心为 $P$ 半径为 $r$，则 $|PC|,r,|PB|$ 成公比为 $\sqrt 3$ 的等比数列，从而 $$|BC|=2\implies |PC|-|PB|=2\implies \sqrt 3r-\dfrac{r}{\sqrt 3}=2\implies r=\sqrt 3,$$ 因此 $\triangle DBC$ 的面积 $$[\triangle DBC]=\dfrac 12\cdot |BC|\cdot d(D,BC)\leqslant \dfrac 12\cdot |BC|\cdot r=\sqrt 3,$$ 因此 $\triangle ABC$ 面积的最大值为 $2\sqrt 3$．