每日一题[2660]最佳分解

我们可以将正整数 $18$ 分解成两个正整数的乘积，共有 $1 \times 18,2 \times 9,3 \times 6$ 这三种形式，其中 $3 \times 6$ 是这三 种分解中两数差的绝对值最小的一种，称 $3 \times 6$ 为 $18$ 的最佳分解；当 $p \times q$（$p, q \in \mathbb{N}^{*}$）是正整数 $n$ 的最佳分解时，我们定义函数 $f *(n)=|p-q|$，例如 $f *(18)=|6-3|=3$，$f *(6)=|2-3|=1$；基于上述事实，下列说法错误的是（       ）

A．$f *(20)>f *(16)$

B．若 $f *(n)=3$，则 $n$ 的值可以是 $154$

C．$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f *\left(4^{i}\right)=0$

D．$\displaystyle\sum_{i=1}^{10} f *(2 i-1)=82$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$f*(k^2)=0,\quad f*(k(k+1))=1,$$ 于是 $f*(20)=1$，$f*(16)=0$，选项 $\boxed{A}$ 正确；

又 $154=2\cdot 7\cdot 11$，于是 $f*(154)=3$，选项 $\boxed{B}$ 正确；

由于 $f*(4^i)=f*((2^i)^2)=0$，于是选项 $\boxed{C}$ 正确；

由于

$$\begin{array}{c|cccccccccc}\hline n&1&3&5&7&9&11&13&15&17&19\\ \hline f*(n)&0&2&4&6&0&10&12&2&16&18\\ \hline \end{array}$$ 因此 $\displaystyle\sum_{i=1}^{10} f *(2 i-1)=70$，选项 $\boxed{D}$ 错误．