每日一题[2647]正难则反

第 $13$ 届冬残奥会于 $3$ 月 $4$ 日在北京开幕．带着“一起向末来”的希冀，给疫情下的世界带来了信心．为了运动会的顺利举行，组织了一些志愿者协助运动会的工作．有来自某大学的 $2$ 名男老师，$2$ 名女老师和 $1$ 名学生的志愿者被组织方分配到某比赛场馆参加连续 $5$ 天的协助工作，每人服务 $1$ 天，如果 $2$ 名男老师不能安排在相邻的两天，$2$ 名女老师也不能安排在相邻的两天，那么符合条件的不同安排方案共有（       ）

A．$120$ 种

B．$96$ 种

C．$48$ 种

D．$24$ 种

答案    C．

解析    设 $5$ 名志愿者任意安排的方案为全集 $U$，$2$ 名男老师安排在相邻的两天的方案为集合 $A$，$2$ 名女老师安排在相邻的两天的方案为集合 $B$，则所求方案数为

$$\begin{split} S&=\mathop{\rm Card}(U-A\cup B)\\ &=\mathop{\rm Card}(U)-\mathop{\rm Card}(A)-\mathop{\rm Card}(B)+\mathop{\rm Card}(A\cap B)\\ &=\mathop{\rm A}\nolimits_ 5^5-\mathop{\rm A}\nolimits_ 4^4\mathop{\rm A}\nolimits_2^2-\mathop{\rm A}\nolimits_ 4^4\mathop{\rm A}\nolimits_ 2^2+\mathop{\rm A}\nolimits_ 3^3\mathop{\rm A}\nolimits_ 2^2\mathop{\rm A}\nolimits_ 2^2\\ &=120-48-48+24\\ &=48.\end{split}$$