每日一题[2638]眼花缭乱

已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ 单调，其中 $\omega$ 为正整数，$|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$，且 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)$．

1、求 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴．

2、若 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，求 $\varphi$．

解析

1、根据题意，$f(x)$ 的最小正周期 $$T \geqslant 2 \times\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2 \pi}{3},$$ 又因为 $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=f\left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)$，所以 $$x=\frac{1}{2} \times\left(\frac{\pi}{2}+\frac{2 \pi}{3}\right)\iff x=\frac{7 \pi}{12}$$ 为 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴．

2、根据第 $(1)$ 小题的结果可知 $T \geqslant \dfrac{2 \pi}{3}$，故 $\omega=\dfrac{2 \pi}{T} \leqslant 3$，由 $\omega \in \mathrm{N}^{\star}$，得 $\omega=1,2,3$． 由于 $x=\dfrac{7 \pi}{12}$ 为 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 的对称轴，所以 $$\dfrac{7 \pi}{12} \omega+\varphi=\frac{\pi}{2}+k_1 \pi, ~k_1 \in \mathbb{Z}.$$ 因为 $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $$\frac{\pi}{6} \omega+\varphi=\frac{\pi}{3}+2 k_2 \pi~\text{或}~\frac{\pi}{6} \omega+\varphi=\frac{2 \pi}{3}+2 k_3 \pi, ~k_2, k_3 \in \mathbb{Z}.$$

若 $\dfrac{\pi}{6} \omega+\varphi=\dfrac{\pi}{3}+2 k_2 \pi$，则 $$\frac{5 \pi}{12} \omega=\frac{\pi}{6}+\left(k_1-2 k_2\right) \pi,$$ 即 $$\omega=-\frac{2}{5}+\frac{12}{5}\left(k_1-2 k_3\right),$$ 不存在整 数 $k_1, k_2$，使得 $\omega=1,2,3$．

若 $\dfrac{\pi}{6} \omega+\varphi=\dfrac{2 \pi}{3}+2 k_3 \pi$，则 $$\frac{5 \pi}{12} \omega=-\frac{\pi}{6}+\left(k_1-2 k_3\right) \pi,$$ 即 $$\omega=-\frac{2}{5}+\frac{12}{5}\left(k_1-2 k_3\right),$$ 不存在 整数 $k_1, k_3$，使得 $\omega=13,$．当 $k_1=2 k_3+1$ 时，$\omega=2$．此时 $\varphi=\dfrac{\pi}{3}+2 k_3 \pi$，由 $|\varphi|<\dfrac{\pi}{2}$，得 $\varphi=\dfrac{\pi}{3}$．