每日一题[2636]椭圆曲线

椭圆曲线加密算法运用于区块链． 椭圆曲线 $C=\left\{(x, y) \mid y^2=x^3+a x+b, 4 a^3+27 b^2 \neq 0\right\}$．$P \in C$ 关于 $x$ 轴的对称点记为 $\widetilde{P}$．$C$ 在点 $P(x, y)$（$y \neq 0$）处的切线是指曲线 $y=\pm \sqrt{x^3+a x+b}$ 在点 $P$ 处的切线．定义“$\oplus$”运算满足：

① 若 $P \in C$，$Q \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点 $R$，则 $P \oplus Q=\widetilde{R}$；

② 若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，则 $P \oplus Q=\widetilde{P}$；

③ 若 $P \in C$，规定 $P \oplus \widetilde{P}=0^{\ast}$，且 $P \oplus 0^{\ast}=0^{\ast} \oplus P=P$．

1、当 $4 a^3+27 b^2=0$ 时，讨论函数 $h(x)=x^3+a x+b$ 零点的个数．

2、已知“$\oplus$”运算满足交换律、结合律，若 $P \in C$，$Q \in C$，且 $P Q$ 为 $C$ 的切线，切点为 $P$，证明：$P \oplus P=\tilde{Q}$．

3、已知 $P\left(x_1, y_1\right) \in C$，$Q\left(x_2, y_2\right) \in C$，且直线 $P Q$ 与 $C$ 有第三个交点，求 $P \oplus Q$ 的坐标．

解析

1、根据题意，可得 $a \leqslant 0$，于是 $h(x)$ 的导函数 $$h^{\prime}(x)=3 x^2+a.$$ 当 $a=0$ 时，$b=0$，此时函数 $h(x)$ 的零点个数为 $0$； 当 $a<0$ 时，$h(x)$ 在 $\left(-\infty,-\sqrt{-\dfrac a3}\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\sqrt{-\dfrac a3},\sqrt{-\dfrac a3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{-\dfrac a3},+\infty\right)$ 上单调递增，因此极大值为 $-\dfrac{2(-a)^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+b$，极小值为 $\dfrac{2(-a)^{\frac 32}}{3\sqrt 3}+b$，因此函数 $h(x)$ 有两个极值点且有一个极值为 $0$，因此 $h(x)$ 零点个数为 $2$． 综上所述，函数 $h(x)$ 的零点个数为 $\begin{cases} 1,&a=0,\\ 2,&a<0.\end{cases}$

2、因为 $P Q$ 为 $C$ 在点 $P$ 处的切线，且 $Q \in C$，所以 $$P \oplus Q=\widetilde{P},\quad P \oplus(P \oplus Q)=P \oplus \widetilde{P},$$ 根据题意有 $$P \oplus P \oplus Q=0^{\ast} ,\quad P \oplus P \oplus Q \oplus \widetilde{Q}=0^{\ast} \oplus \widetilde{Q},$$ 所以 $$P \oplus\left(P \oplus 0^{\ast}\right)=\widetilde{Q},$$ 故 $P \oplus P=\widetilde{Q}$．

3、直线 $P Q$ 的斜率 $$k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2},$$ 设 $P Q$ 与 $C$ 的第三个交点为 $\left(x_3, y_3\right)$，则 $$y_3=k\left(x_3-x_1\right)+y_1,$$ 代入 $y_3^2=x_3^3+a x_3+b$ 得 $$\left(x_3-x_1\right)^2\cdot k^2+2 y_1\left(x_3-x_1\right)\cdot k+y_1^2=a_3^3+a x_3+b ,$$ 代入 $y_1^2=x_1^3+a x_1+b$ 得 $$x_3^2+\left(x_1-k^2\right) x_3+x_1^2+k^2 x_1-2 k y_1+a=0,$$ 同理可得 $$x_3^2+\left(x_2-k^2\right) x_3+x_2^2+k^2 x_2-2 ky_2+a=0,$$ 两式相减得 $x_3=k^2-x_1-x_2$，因此 $P \oplus Q$ 的坐标为 $$\left(\left(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)^2-x_1-x_2, \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\left(x_2+2 x_1-\left(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\right)^2\right)-y_1\right).$$