每日一题[2629]灭门人

已知抛物线 $C: y^2=2 x$ 的准线为 $l$，直线 $x=m y+n$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，$M$ 为 $A B$ 的中点，则（       ）

A．当 $n=\dfrac{1}{2}$ 时，以 $A B$ 为直径的圆与 $l$ 相交

B．当 $n=2$ 时，以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$

C．当 $|A B|=4$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离的最小值为 $2$

D．当 $|A B|=1$ 时，点 $M$ 到 $l$ 的距离无最小值

答案    BC．

解析    根据题意，有 $l:x=-\dfrac 12$，设 $A(2a^2,2a)$，$B(2b^2,2b)$，则 $M(a^2+b^2,a+b)$，且 $$a+b=m,\quad n=-2ab,$$ 于是 $M\left(m^2+n,m\right)$，且 $$|AB|=\sqrt{(2a^2-2b^2)^2+(2a-2b)^2}=2|a-b|\cdot \sqrt{(a+b)^2+1}=2\sqrt{(m^2+1)(m^2+2n)},$$ 点 $M$ 到准线 $l$ 的距离 $d=m^2+n+\dfrac 12$．

对于选项 $\boxed{A}$，当 $n=\dfrac 12$ 时，有 $d=\dfrac 12|AB|$，于是以 $AB$ 为直径的圆与 $l$ 相切，命题错误；

对于选项 $\boxed{B}$，当 $n=2$ 时，直线 $OA,OB$ 的斜率之积为 $\dfrac{1}{2ab}=-1$，于是以 $A B$ 为直径的圆经过原点 $O$，命题正确；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $|AB|=4$ 时，有 $$d=\dfrac{(m^2+1)+(m^2+2n)}2\leqslant 2\sqrt{(m^2+1)(m^2+2N)}=2,$$ 等号当 $n=\dfrac 12$ 时取得，命题正确；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $|AB|=1$ 时，记 $t=m^2+1$（$t\geqslant 1$），则 $m^2+2n=\dfrac{1}{4t}$，从而 $$d=\dfrac{t+\dfrac{1}{4t}}2\geqslant \dfrac 58,$$ 等号当 $t=0$ 即 $m=0$ 时取得，命题错误．

综上所述，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ 符合题意．