每日一题[2626]交点曲线系

函数 $y=2 x^2+b x-c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A, B$，与 $y$ 轴交于点 $C$．圆 $M$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆．

1、证明：圆 $M$ 与 $y$ 轴另一交点为 $D$，证明 $D$ 点唯一并求出该定点．

2、已知 $\triangle ABD$ 的面积为 $\dfrac{5}{4}$ 且 $b$ 和 $c$ 为正整数，求 $b, c$．

解析

1、根据交点曲线系，圆 $M$ 的方程为

$$2x^2+bx-c-y+2y(y+c)=0,$$ 即 $$x^2+y^2+\dfrac 12bx\left(c-\dfrac 12\right)y-\dfrac 12c=0,$$ 因此圆 $M$ 与 $y$ 轴的交点为 $(0,-c)$ 和 $\left(0,\dfrac 12\right)$，因此 $D$ 点为定点 $\left(0,\dfrac 12\right)$．

2、根据题意，关于 $x$ 的方程

$$2x^2+bx-c=0$$ 的两根之差的绝对值为 $5$，即 $$\dfrac{\sqrt{b^2+8c}}4=5\iff b^2+8c=100,$$ 进而 $(b,c)=(2,12),(6,8)$．