每日一题[2609]极值估计

已知函数 $f(x)=\ln x$．

1、若函数 $g(x)=f(x)-a x+\dfrac{1}{2} x^2$ 有两个极值点，求实数 $a$ 的取值范围．

2、若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m(x+1)$（$m \in \mathbb Z$）有实数解，求整数 $m$ 的最大值．

解析

1、函数 $g(x)=\ln x-ax+\dfrac 12x^2$，于是其导函数

$$g'(x)=\dfrac{x^2-ax+1}{x},$$ 若函数 $g(x)=f(x)-a x+\dfrac{1}{2} x^2$ 有两个极值点，则方程 $$x^2-ax+1=0\iff a=x+\dfrac 1x$$ 有两个正实数解，于是实数 $a$ 的取值范围为 $(2,+\infty)$．

2、方程 $f(x)=m(x+1)$ 即

$$m=\dfrac{\ln x}{x+1},$$ 设方程右侧函数为 $h(x)$，则其导函数 $$h'(x)=\dfrac{1+\dfrac 1x-\ln x}{(x+1)^2},$$ 设 $r(x)=1+\dfrac 1x-\ln x$，则 $r(x)$ 单调递减，且 $r({\rm e})=\dfrac{1}{\rm e}>0$，$r\left({\rm e}^2\right)=\dfrac{1}{{\rm e}^2}-1<0$，因此 $r(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 有唯一零点 $x=t$（$t\in\left({\rm e},{\rm e}^2\right)$），从而 $h(x)$ 在 $x=t$ 处取得极大值，也为最大值 $$M=\dfrac{\ln t}{t+1},$$ 其中 $1+\dfrac 1t-\ln t=0$．将 $\ln t=1+\dfrac 1t$ 代入．可得 $$M=\dfrac{1+\dfrac 1t}{t+1}=\dfrac 1t,$$ 从而 $M\in\left({\rm e}^{-2},{\rm e}^{-1}\right)$，因此整数 $m$ 的最大值为 $0$．