每日一题[2582]勘探零点

设函数 $f\left(x\right) = {{\mathrm{e}}^x} + x - 2$，$g\left(x\right) = \ln x + {x^2} - 3$．若实数 $a,b$ 满足 $f\left(a\right) = 0$，$g\left(b\right) = 0$，则（       ）

A．$g\left(a\right) < 0 < f\left(b\right)$

B．$f\left(b\right) < 0 < g\left(a\right)$

C．$0 < g\left(a\right) < f\left(b\right)$

D．$f\left(b\right) < g\left(a\right) < 0$

答案    A．

解析    本题考查函数零点的存在性定理以及函数的单调性，经过试探得到零点的大致范围后判断函数值的符号即可． 根据题意，函数 $f(x),g(x)$ 都是定义域上的增函数，而

$$\begin{array}{c|ccc}\hline x&0&1&2\\ \hline f(x)&-1&{\rm e}-1&\\ \hline g(x)&&-2&\ln 2+1\\ \hline\end{array}$$ 于是 $$0<a<1<b<2\implies g(a)<0<f(b).$$