每日一题[2579]等差幂线

已知 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于 $Q$，交 $A C$ 于 $P$，若 $\left|\overrightarrow{A B}\right|=1$，$\left|\overrightarrow{A C}\right|=2$，则 $\overrightarrow{A P} \cdot \overrightarrow{B C}=$（       ）

A．$3$

B．$\dfrac{3}{2}$

C．$\sqrt{3}$

D．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

答案    B．

解析    如图，设 $A$ 在 $BC$ 上的投影为 $H$，则

$$\begin{split} \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{BC}&=|HQ|\cdot |BC|\\ &=\left(\dfrac 12|BC|-|BH|\right)\left(|HC|+|HB|\right)\\ &=\dfrac{|HC|^2-|HB|^2}2\\ &=\dfrac{|AC|^2-|AB|^2}2\\ &=\dfrac 32.\end{split}$$