每日一题[2574]完全平方

从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这九个数中任意取出三个不同的数，每个数被取出的概率均相等，则三个数的乘积是一个完全平方数的概率为_______．

答案    $\dfrac{1}{14}$．

解析    将 $9$ 个数分划为 $A=\{1,4,9\}$，$B=\{5,7\}$，$C=\{2,3,6,8\}$ 三组，按 $C$ 中的数被取的个数分类．

情形一     $C$ 中取出 $0$ 个数，则 $A$ 中取出 $3$ 个数，对应 $1$ 种取法；

情形二     $C$ 中取出 $1$ 个数，则不可能得到完全平方数；

情形三    $C$ 中取出 $2$ 个数，则只可能取出 $2,8$，此时在 $A$ 中取出 $1$ 个数即可，对应 $3$ 种取法；

情形四    $C$ 中取出 $3$ 个数，则有 $2,3,6$ 和 $3,6,8$ 两种取法． 因此所求概率为 $\dfrac {6}{\dbinom 93}=\dfrac{1}{14}$．