每日一题[2573]函数与方程

设多项式函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$，其中 $a, b, c$ 均为有理数，则（       ）

A．函数 $y=f(x)$ 与抛物线 $y=x^2+100$ 的图象可能没有公共点

B．若 $f(0)f(1)<0<f(0)f(2)$，则方程 $f(x)=0$ 必有三个不同的实数解

C．若 $1+3{\rm i}$ 是方程 $f(x)=0$ 的复根，则方程 $f(x)=0$ 有一个有理根

D．存在有理数 $a,b,c$，使得 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 按次序为等差数列

E．存在有理数 $a,b,c$，使得 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 按次序为等比数列

答案    BCE．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，考虑函数 $g(x)=f(x)-(x^2+100)$ 为三次函数，因此 $g(x)=0$ 至少有一个实数解，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，根据题意，$f(0)$ 与 $f(1)$ 异号，$f(2)$ 与 $f(0)$ 同号并与 $f(1)$ 异号，而 $f(-\infty)=-\infty$，$f(+\infty)=+\infty$，因此在 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上方程 $f(x)=0$ 有实数解，且在 $(-\infty,0)$ 和 $(2,+\infty)$ 中至少一个区间上，$f(x)=0$ 也有实数解，因此 $f(x)=0$ 必然有三个不同的实数解，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，若 $1+3{\rm i}$ 是方程 $f(x)=0$ 的复根，那么 $1-3{\rm i}$ 也是方程 $f(x)=0$ 的复根，根据韦达定理，方程 $f(x)=0$ 的第三个复根为

$$-a-(1+3{\rm i})-(1-3{\rm i})=-a-2$$ 为有理数，因此选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，若 $f(1),f(2),f(3),f(4)$ 按次序为等差数列，则函数 $f(x)$ 的图象与某条直线 $l$ 有 $4$ 个公共点（横坐标分别为 $1,2,3,4$），设 $l:y=kx+m$，考虑方程 $f(x)-(kx+m)=0$ 为三次方程，至多有三个实数解，因此选项错误；

对于选项 $\boxed{E}$，考虑方程组

$$\begin{cases} 1+a+b+c=m,\\ 8+4a+2b+c=mn,\\ 27+9a+3b+c=mn^2,\\ 64+16a+4b+c=mn^3,\end{cases}$$ 取非零有理数 $n$，则该方程组是关于 $(a,b,c,m)$ 的四元一次方程组，若有解，则解必然均为有理数．例如取 $n=2$，有 $(a,b,c,m)=(-3,8,0,6)$，此时 $f(x)=x^3-3x^2+8x$，$f(1),f(2),f(3),f(4)$ 为等比数列 $6,12,24,48$．

综上所述，选项 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{E}$ 正确．