每日一题[2552]化齐次联立

设椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$），圆 $C:(x-2 m)^{2}+(y-4 m)^{2}=1$（$m \neq 0$），点 $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $E$ 的左、右焦点，点 $C$ 为圆心，$O$ 为原点，线段 $O C$ 的垂直平分线为 $l$．已知 $E$ 的离心率为 $\dfrac{1}{2}$，点 $F_{1}, F_{2}$ 关于直线 $l$ 的对称点都在圆 $C$ 上．

1、求椭圆 $E$ 的方程．

2、设直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A, B$ 两点，问：是否存在实数 $m$，使直线 $A C$ 与 $B C$ 的斜率之和 为 $\dfrac{2}{3}$？若存在，求实数 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

解析

1、圆 $C$ 关于直线 $l$ 的对称图形为单位圆 $O:x^2+y^2=1$，根据题意，点 $F_1,F_2$ 均在圆 $O$ 上，因此 $a^2-b^2=1$，结合 $E$ 的离心率为 $\dfrac 12$，可得椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$．

2、作平移变换 $x=x'+2m$，$y=y'+4m$，则椭圆方程变为 $$\dfrac{(x'+2m)^2}{4}+\dfrac{(y'+4m)^2}3=1,$$ 即 $$\dfrac{x'^2}4+\dfrac{y'^2}3+m\left(x'+\dfrac 83y'\right)+\dfrac{19}{3}m^2-1=0,$$ 此时直线 $l$ 的对应直线 $l'$ 的方程为 $$(x'+2m)+2(y'+4m)-5m=0\iff \dfrac{x'+2y'}{-5m}=1,$$ 化齐次联立，有 $$\dfrac{x'^2}4+\dfrac{y'^2}3+m\left(x'+\dfrac 83y'\right)\cdot \dfrac{x'+2y'}{-5m}+\left(\dfrac{19}3m^2-1\right)\left(\dfrac{x'+2y'}{-5m}\right)^2=0,$$ 即 $$\dfrac{7m^2-4}{25}y'^2+\dfrac{2m^2-4}{25}x'y'+\dfrac{91m^2-12}{300m^2}x'^2=0,$$ 因此直线 $A'C'$ 与直线 $B'C'$ 的斜率之和为 $$-\dfrac{2m^2-4}{7m^2-4}=\dfrac 23\iff m=\pm 1,$$ 此时上述方程为 $$3y'^2-2x'y'+\dfrac{79}{12}x'^2=0,$$ 其判别式 $\Delta<0$．因此不存在符合题意的实数 $m$．