每日一题[2551]分比标数法

如图，在四边形 $ABCD$ 中，$\triangle ABD,\triangle BCD,\triangle ABC$ 的面积比是 $3:4:1$，点 $M,N$ 分别在 $AC,CD$ 上，满足 $AM:AC=CN:CD$，并且 $B,M,N$ 三点共线．求证：$M$ 与 $N$ 分别是 $AC$ 与 $CD$ 的中点．

解析

解法一    由题意可知，

$$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{3}{4}\implies\frac{AE}{EC}=\frac{3}{4}, \frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=6\implies\frac{DE}{EB}=6.$$ 不妨设 $AE=3$，$EM=t$，则 $MC=4-t$，于是 $$\frac{CN}{ND}=\frac{AM}{MC}=\frac{3+t}{4-t}.$$ 考虑直线 $BMN$ 截 $\triangle CDE$ 可知， $$\begin{split} &\frac{DB}{BE}\cdot\frac{EM}{MC}\cdot\frac{CN}{ND}=7\cdot\frac{t}{4-t}\cdot\frac{3+t}{4-t}=1\\ \implies{}&6t^2+29t-16=(2t-1)(3t+16)=0\\ \implies{}&t=\frac{1}{2}\\ \implies{}&\frac{CN}{ND}=\frac{AM}{MC}=1, \end{split}$$ 因此 $M,N$ 分别是线段 $AC,CD$ 的中点．

解法二    如图，设 $AC,BD$ 交于点 $E$，则

$$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac{[\triangle ABD]}{[\triangle BCD]}=\dfrac 34,\quad \dfrac{BE}{ED}=\dfrac{[\triangle ABC]}{[\triangle ACD]}=\dfrac 16.$$ 设 $\dfrac{DN}{NC}=\lambda$，标数如下．

可得 $\dfrac{CM}{ME}=\dfrac{7}{\lambda}$，进而

$$\dfrac{CM}{CE}=\dfrac{7}{7+\lambda}\implies \dfrac{CM}{CA}=\dfrac{4}{7+\lambda}\implies \dfrac{CM}{MA}=\dfrac{4}{3+\lambda},$$ 根据题意，由 $AM:AC=CN:CD$，可得 $$\dfrac{DN}{NC}=\dfrac{CM}{MA}\implies \lambda=\dfrac4{3+\lambda}\implies \lambda =1,$$ 命题得证．